7 Teste de Hipótese - Exemplo 1

Desenvolveremos testes de hipóteses para os parâmetros do vetor \(\boldsymbol{\beta} = [\beta_1, \beta_2,\dots, \beta_k]'\) no modelo de regressão múltipla

\[\mathbf{y} = \mathbf{X} \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\epsilon}\]

Faremos as mesmas suposições do Capítulo 6, em que \(\boldsymbol{\epsilon} \sim N_n(\mathbf{0}, \sigma^2\mathbf{I})\) ou \(\mathbf{y} \sim N_n(\mathbf{X}\boldsymbol{\beta},\sigma^2\mathbf{I})\), onde \(\mathbf{X}\) é uma matriz \(n \times(k+1)\), de posto \(k+1 < n\), sendo \(n\) o número de observações e \(k\), o número de variáveis \(x\).

Isso garante que as somas de quadrados da regressão e dos resíduos são formas quadráticas independentes, sendo pressuposições importantes para a realização da análise de variância.

Do Capítulo 6, sabemos que:

Modelo de regressão múltipla na forma centrada:

\[ \mathbf{y} = \begin{bmatrix} \mathbf{j} & \mathbf{X}_c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha \\ \boldsymbol{\beta_1} \end{bmatrix} + \boldsymbol{\epsilon} = \alpha \mathbf{j} + \mathbf{X}_c \boldsymbol{\beta_1} + \boldsymbol{\epsilon} \]

em que

\[\mathbf{X}_c = \left(\mathbf{I} - \frac{1}n \mathbf{J}\right) \mathbf{X_1}\]

e \(\mathbf{X_1} = \begin{bmatrix}\mathbf{x_1} & \mathbf{x_2} & \dots & \mathbf{x_k}\end{bmatrix}\).

Estimadores de MQO de \(\alpha\) e \(\boldsymbol{\beta_1}\):

\[ \begin{bmatrix} \hat{\alpha} \\ \hat{\boldsymbol{\beta_1}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \bar{y} \\ (\mathbf{X'_c X_c})^{-1} \mathbf{X'_c} \mathbf{y} \end{bmatrix} \]

Soma de quadrados da regressão (SQReg):

\[ SQReg = \mathbf{y'}\left[\mathbf{X(X'X)}^{-1}\mathbf{X'} - \frac{1}n \mathbf{J}\right]\mathbf{y} \space, \quad \text{ com k graus de liberdade} \]

Soma de quadrados total corrigida (SQTot):

\[ SQTot = \mathbf{y'}[\mathbf{I} - \frac{1}n \mathbf{J}]\mathbf{y} \space, \quad \text{ com n-1 graus de liberdade} \]

Soma de quadrados de resíduo (SQRes):

\[ SQRes = \mathbf{y'} (\mathbf{I - X(X'X)^{-1}X')y} \space, \quad \text{ com (n-k-1) graus de liberdade} \]

Para o exemplo, utilizaremos os mesmos dados do Capítulo 6.

Obs	y	x1	x2
1	2	0	2
2	3	2	6
3	2	2	7
4	7	2	5
5	6	4	9
6	8	4	8
7	10	4	7
8	7	6	10
9	8	6	11
10	12	6	9
11	11	8	15
12	14	8	13

y <- c(2, 3, 2, 7, 6, 8, 10, 7, 8, 12, 11, 14)

x0 <- matrix(data = 1, nrow = length(y), ncol = 1)
colnames(x0) <- ("x0")

x1 <- c(0, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 8, 8)

x2 <- c(2, 6, 7, 5, 9, 8, 7, 10, 11, 9, 15, 13)

X <- cbind(x0, x1, x2)
X

      x0 x1 x2
 [1,]  1  0  2
 [2,]  1  2  6
 [3,]  1  2  7
 [4,]  1  2  5
 [5,]  1  4  9
 [6,]  1  4  8
 [7,]  1  4  7
 [8,]  1  6 10
 [9,]  1  6 11
[10,]  1  6  9
[11,]  1  8 15
[12,]  1  8 13

k <- 2    # número de variáveis regressoras x

n <- length(y)

jn <- matrix(data = 1, nrow = n, ncol = 1)

Jnn <- jn %*% t(jn)

In <- diag(n)

X12 <- cbind(x1, x2)
X12

      x1 x2
 [1,]  0  2
 [2,]  2  6
 [3,]  2  7
 [4,]  2  5
 [5,]  4  9
 [6,]  4  8
 [7,]  4  7
 [8,]  6 10
 [9,]  6 11
[10,]  6  9
[11,]  8 15
[12,]  8 13

Xc <- (In - (1 / n) * Jnn) %*% X12    # Matriz X12 centrada
Xc

              x1   x2
 [1,] -4.3333333 -6.5
 [2,] -2.3333333 -2.5
 [3,] -2.3333333 -1.5
 [4,] -2.3333333 -3.5
 [5,] -0.3333333  0.5
 [6,] -0.3333333 -0.5
 [7,] -0.3333333 -1.5
 [8,]  1.6666667  1.5
 [9,]  1.6666667  2.5
[10,]  1.6666667  0.5
[11,]  3.6666667  6.5
[12,]  3.6666667  4.5

proc iml;

* Exemplo 8.1 - usando dados do Exemplo 7.2  (Tabela 7.1);
* (Freund & Minton, 1979, pág.36-39);
y = {2,3,2,7,6,8,10,7,8,12,11,14};
X = {1 0 2,1 2 6,1 2 7,1 2 5,1 4 9,1 4 8,1 4 7,1 6 10,1 6 11,1 6 9,1 8 15,1 8 13};
print y '   '  X;

n = nrow(y);
k = 2;  * número de variáveis regressoras x's;
X1 = X[,2:3];
In = I(n);
Jnn = J(n,n,1);
Xc = (In - (1/n)*Jnn)*X1;   * Matriz X1 centrada;

7.1 Teste de Regressão Global (Geral)

Como hipóteses do teste de regressão global, assumiremos:

\[ \begin{align} H_0&: \boldsymbol{\beta_1} = 0 \\ H_a&: \text{Pelo menos um dos } \beta's \text{ não é nulo} \end{align} \]

onde \(\boldsymbol{\beta_1} = [\beta_1, \dots, \beta_k]'\).

Em outras palavras:

\[ \begin{align} H_0&: \text{Nenhum dos x's prediz y} \\ H_a&: \text{Pelo menos uma das variáveis x's é importante na predição de y} \end{align} \]

O quadro da ANOVA para o teste F de \(H_0: \boldsymbol{\beta_1} = 0\) é:

FV	gl	QM	F
Devida a Beta1	k	SQReg / k	QMReg / QMRes
Resíduo	n - k - 1	SQRes / (n - k - 1)
Total	n - 1	SQTot / (n - 1)

onde \(n\) são os números de observações e \(k\), o número de variáveis \(x\).

A soma de quadrados e os graus de liberdade totais são obtidos da seguinte maneira:

SQTot <- t(y) %*% (In - (1 / n) * Jnn) %*% y
SQTot

     [,1]
[1,]  165

gl_tot <- n - 1
gl_tot

[1] 11

Já a soma de quadrados, quadrado médio e os graus de liberdade da regressão:

Beta1 <- solve(t(Xc) %*% Xc) %*% t(Xc) %*% y
Beta1

        [,1]
x1  3.011830
x2 -1.285489

SQReg <- t(Beta1) %*% t(Xc) %*% y
SQReg

        [,1]
[1,] 139.541

gl_reg <- k
gl_reg

[1] 2

QMReg <- SQReg / gl_reg
QMReg

        [,1]
[1,] 69.7705

Para os resíduos, temos as seguintes soma de quadrados, quadrado médio e graus de liberdade:

SQRes <- SQTot - SQReg
SQRes

         [,1]
[1,] 25.45899

gl_res <- n - k - 1
gl_res

[1] 9

QMRes <- SQRes / gl_res
QMRes

         [,1]
[1,] 2.828777

A estatística F e o p-valor:

Fcalc1 <- QMReg / QMRes
Fcalc1

         [,1]
[1,] 24.66455

p_valor1 <- 1 - pf(Fcalc1, k, n - k - 1)
p_valor1

             [,1]
[1,] 0.0002226422

Dessa forma, o quadro da ANOVA para o teste \(H_0: \boldsymbol{\beta_1} = 0\) fica:

Teste de Regressão Global - H0: Beta1 = 0
FV	gl	SQ	QM	Fcal	Ftab	p-valor (5%)
Regressão	2	139.541	69.771	24.665	4.26	0.000223
Resíduo	9	25.459	2.829
Total	11	165.000

Dado que o \(F_{cal} > F_{tab}\), para \(F(0.05, 2, 9)\), há evidência para rejeitarmos \(H_0: \boldsymbol{\beta_1} = 0\) ao nível de 5% de significância, ou seja, pelo menos uma das variáveis regressoras, \(x_1\) ou \(x_2\), é importante para predizer \(y\). Da mesma maneira, o p-valor corrobora com o resultado, pois é menor que 0,05.

* Cálculo das SQ´s para testar hipótese H0: Beta1 = 0;
SQTotal = t(y)*(In - (1/n)*Jnn)*y;  * Calcula SQTotal;
gl_total = n-1;

Beta1 = inv(t(Xc)*Xc)*t(Xc)*y;      * Calcula Beta1;
SQReg = t(Beta1)*t(Xc)*y;
gl_reg = k;
QMReg = SQReg/gl_reg;

SQRes = SQTotal - SQReg;
gl_res = n-k-1;
QMRes = SQRes/gl_res;

Fcalc1 = QMReg/QMRes;
p_valor1 = 1-cdf('F',Fcalc1,k,n-k-1);

print 'Seção 8.1: TESTE DE REGRESSÃO GLOBAL - H0: Beta1 = 0',;
print 'Regressão' gl_reg   SQReg[format=10.4] QMReg[format=10.4] Fcalc1[format=10.3] p_valor1[format=10.6],,
      'Resíduo  ' gl_res   SQRes[format=10.4] QMRes[format=10.4],,
      'Total    ' gl_total SQTotal[format=10.4],,,,;

7.1.1 Teste para um subconjunto de \(\beta's\)

Neste caso, estamos interessados em testar a hipótese de que um subconjunto das variáveis regressoras \(x's\) não é importante para predizer \(y\).

Como hipóteses do teste de regressão, assumiremos:

\[ \begin{align} H_0&: \boldsymbol{\beta_2} = 0 \\ H_a&: \boldsymbol{\beta_2} \ne 0 \end{align} \]

O modelo completo, que inclui todas as variáveis, pode ser escrito como:

\[ \mathbf{y} = \mathbf{X} \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\epsilon} = \begin{bmatrix} \mathbf{X_1} & \mathbf{X_2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol{\beta_1} \\ \boldsymbol{\beta_2} \end{bmatrix} + \boldsymbol{\epsilon} = \mathbf{X_1} \boldsymbol{\beta_1} + \mathbf{X}_2 \boldsymbol{\beta_2} + \boldsymbol{\epsilon} \]

onde \(\boldsymbol{\beta_2}\) apresenta os parâmetros a serem testados em \(H_0: \boldsymbol{\beta_2} = 0\).

Já o modelo reduzido pela hipótese \(H_0: \boldsymbol{\beta_2} = 0\) será:

\[ \mathbf{y} = \mathbf{X_1} \boldsymbol{\beta_1}^* + \boldsymbol{\epsilon}^* \]

Seja \(h\) o número de parâmetros em \(\boldsymbol{\beta_2}\), temos:

\(\mathbf{X_2}\) uma matriz \(n \times h\) e \(\boldsymbol{\beta_2}\) \(h \times 1\);
\(\mathbf{X_1}\) uma matriz \(n \times (k+1-h)\) e \(\boldsymbol{\beta_1}\) \((k+1-h) \times 1\).

No caso do nosso exemplo, sob a hipótese \(H_0: \boldsymbol{\beta_2} = 0\), os vetores de parâmetros ficam:

\[ \boldsymbol{\beta_1} = \begin{bmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \end{bmatrix} \text{ e } \boldsymbol{\beta_2} = \beta_2 \]

X01 <- cbind(x0, x1)  # Variáveis importantes em X1Beta1
X01

      x0 x1
 [1,]  1  0
 [2,]  1  2
 [3,]  1  2
 [4,]  1  2
 [5,]  1  4
 [6,]  1  4
 [7,]  1  4
 [8,]  1  6
 [9,]  1  6
[10,]  1  6
[11,]  1  8
[12,]  1  8

X2 <- as.matrix(x2)   # Variáveis desprezíveis em X2Beta2
X2

      [,1]
 [1,]    2
 [2,]    6
 [3,]    7
 [4,]    5
 [5,]    9
 [6,]    8
 [7,]    7
 [8,]   10
 [9,]   11
[10,]    9
[11,]   15
[12,]   13

Para desenvolver uma estatística para testar \(H_0: \boldsymbol{\beta_2} = 0\), precisamos escrever as somas de quadrados em termos de formas quadráticas de \(\mathbf{y}\), dado por:

\[ SQ(\boldsymbol{\beta_2} \mid \beta_1) = \mathbf{y'} [\mathbf{A_1-A_2}] \mathbf{y} \]

onde \(A_1 = \mathbf{X(X'X)^{-1}X'}\) e \(A_2 = \mathbf{X_1(X'_1X_1)^{-1}X'_1}\).

A1 <- X %*% solve(t(X) %*% X) %*% t(X) 
A1

             [,1]         [,2]        [,3]        [,4]         [,5]       [,6]
 [1,]  0.39432177  0.189274448  0.12776025  0.25078864  0.045741325 0.10725552
 [2,]  0.18927445  0.190851735  0.24132492  0.14037855  0.141955836 0.09148265
 [3,]  0.12776025  0.241324921  0.37539432  0.10725552  0.220820189 0.08675079
 [4,]  0.25078864  0.140378549  0.10725552  0.17350158  0.063091483 0.09621451
 [5,]  0.04574132  0.141955836  0.22082019  0.06309148  0.159305994 0.08044164
 [6,]  0.10725552  0.091482650  0.08675079  0.09621451  0.080441640 0.08517350
 [7,]  0.16876972  0.041009464 -0.04731861  0.12933754  0.001577287 0.08990536
 [8,]  0.02523659 -0.007886435 -0.06782334  0.05205047  0.018927445 0.07886435
 [9,] -0.03627760  0.042586751  0.06624606  0.01892744  0.097791798 0.07413249
[10,]  0.08675079 -0.058359621 -0.20189274  0.08517350 -0.059936909 0.08359621
[11,] -0.24132492  0.044164038  0.17981073 -0.09148265  0.194006309 0.05835962
[12,] -0.11829653 -0.056782334 -0.08832808 -0.02523659  0.036277603 0.06782334
              [,7]         [,8]        [,9]       [,10]       [,11]       [,12]
 [1,]  0.168769716  0.025236593 -0.03627760  0.08675079 -0.24132492 -0.11829653
 [2,]  0.041009464 -0.007886435  0.04258675 -0.05835962  0.04416404 -0.05678233
 [3,] -0.047318612 -0.067823344  0.06624606 -0.20189274  0.17981073 -0.08832808
 [4,]  0.129337539  0.052050473  0.01892744  0.08517350 -0.09148265 -0.02523659
 [5,]  0.001577287  0.018927445  0.09779180 -0.05993691  0.19400631  0.03627760
 [6,]  0.089905363  0.078864353  0.07413249  0.08359621  0.05835962  0.06782334
 [7,]  0.178233438  0.138801262  0.05047319  0.22712934 -0.07728707  0.09936909
 [8,]  0.138801262  0.165615142  0.10567823  0.22555205  0.07255521  0.19242902
 [9,]  0.050473186  0.105678233  0.12933754  0.08201893  0.20820189  0.16088328
[10,]  0.227129338  0.225552050  0.08201893  0.36908517 -0.06309148  0.22397476
[11,] -0.077287066  0.072555205  0.20820189 -0.06309148  0.49369085  0.22239748
[12,]  0.099369085  0.192429022  0.16088328  0.22397476  0.22239748  0.28548896

A2 <- X01 %*% solve(t(X01) %*% X01) %*% t(X01)
A2

             [,1]        [,2]        [,3]        [,4]       [,5]       [,6]
 [1,]  0.34905660  0.22641509  0.22641509  0.22641509 0.10377358 0.10377358
 [2,]  0.22641509  0.16037736  0.16037736  0.16037736 0.09433962 0.09433962
 [3,]  0.22641509  0.16037736  0.16037736  0.16037736 0.09433962 0.09433962
 [4,]  0.22641509  0.16037736  0.16037736  0.16037736 0.09433962 0.09433962
 [5,]  0.10377358  0.09433962  0.09433962  0.09433962 0.08490566 0.08490566
 [6,]  0.10377358  0.09433962  0.09433962  0.09433962 0.08490566 0.08490566
 [7,]  0.10377358  0.09433962  0.09433962  0.09433962 0.08490566 0.08490566
 [8,] -0.01886792  0.02830189  0.02830189  0.02830189 0.07547170 0.07547170
 [9,] -0.01886792  0.02830189  0.02830189  0.02830189 0.07547170 0.07547170
[10,] -0.01886792  0.02830189  0.02830189  0.02830189 0.07547170 0.07547170
[11,] -0.14150943 -0.03773585 -0.03773585 -0.03773585 0.06603774 0.06603774
[12,] -0.14150943 -0.03773585 -0.03773585 -0.03773585 0.06603774 0.06603774
            [,7]        [,8]        [,9]       [,10]       [,11]       [,12]
 [1,] 0.10377358 -0.01886792 -0.01886792 -0.01886792 -0.14150943 -0.14150943
 [2,] 0.09433962  0.02830189  0.02830189  0.02830189 -0.03773585 -0.03773585
 [3,] 0.09433962  0.02830189  0.02830189  0.02830189 -0.03773585 -0.03773585
 [4,] 0.09433962  0.02830189  0.02830189  0.02830189 -0.03773585 -0.03773585
 [5,] 0.08490566  0.07547170  0.07547170  0.07547170  0.06603774  0.06603774
 [6,] 0.08490566  0.07547170  0.07547170  0.07547170  0.06603774  0.06603774
 [7,] 0.08490566  0.07547170  0.07547170  0.07547170  0.06603774  0.06603774
 [8,] 0.07547170  0.12264151  0.12264151  0.12264151  0.16981132  0.16981132
 [9,] 0.07547170  0.12264151  0.12264151  0.12264151  0.16981132  0.16981132
[10,] 0.07547170  0.12264151  0.12264151  0.12264151  0.16981132  0.16981132
[11,] 0.06603774  0.16981132  0.16981132  0.16981132  0.27358491  0.27358491
[12,] 0.06603774  0.16981132  0.16981132  0.16981132  0.27358491  0.27358491

SQB2_B1 <- t(y) %*% (A1 - A2) %*% y
SQB2_B1

         [,1]
[1,] 19.76742

Tendo a soma de quadrados \(SQ(\boldsymbol{\beta_2} \mid \beta_1)\), podemos calcular o seu quadrado médio (\(QM(\boldsymbol{\beta_2} \mid \beta_1)\)), bem como a estatística F e o p-valor.

h <- ncol(X2)         # Número de parâmetros x em Beta2 (g.l de Beta2|Beta1)
h

[1] 1

QMB2_B1 <- SQB2_B1 / h
QMB2_B1

         [,1]
[1,] 19.76742

Fcalc2 <- QMB2_B1 / QMRes
Fcalc2

         [,1]
[1,] 6.987976

p_valor2 <- 1 - pf(Fcalc2, h, n - k - 1)
p_valor2

           [,1]
[1,] 0.02676076

Dessa forma, o quadro da ANOVA para o teste \(H_0: \boldsymbol{\beta_2} = 0\) fica:

Teste de Regressão de Subconjunto - H0: Beta2 = 0
FV	gl	SQ	QM	Fcal	Ftab	p-valor (5%)
Devida a Beta2 ajust. Beta1	1	19.767	19.767	6.988	5.12	0.026761
Resíduo	9	25.459	2.829
Total	11	165.000

Dado que o \(F_{cal} > F_{tab}\), para \(F(0.05, 1, 9)\), há evidência para rejeitarmos \(H_0: \boldsymbol{\beta_2} = 0\) ao nível de 5% de significância, ou seja, os termos de segunda ordem (em \(\boldsymbol{\beta_2}\)) não são todos nulos e são importantes para a predição de \(\mathbf{y}\).

* SQ´s para testar hipótese H0: Beta2 = 0;
X1 = X[,1:2];   * Variáveis importantes em X1Beta1;
X2 = X[,3];     * Variáveis desprezíveis em X2Beta2; 
A1 = X*inv(t(X)*X)*t(X);
A2 = X1*inv(t(X1)*X1)*t(X1);
h = ncol(X2);
SQB2_B1 = t(y)*(A1-A2)*y;
QMB2_B1 = SQB2_B1/h;

Fcalc2 = QMB2_B1/QMRes;
p_valor2 = 1-cdf('F',Fcalc2,h,n-k-1);

print 'Seção 8.2: TESTE PARA SUBCONJUNTO DOS BETA´S - H0: Beta2 = 0',
      '                (MODELO COMPLETO versus MODELO REDUZIDO)',;
print 'Beta2 | Beta1' h SQB2_B1[format=10.4] QMB2_B1[format=10.4] Fcalc2[format=10.4] p_valor2[format=10.4],
      'Resíduo      ' gl_res SQRes[format=10.4] QMRes[format=10.4],,,,;

7.2 Hipótese Linear Geral

Na hipótese linear geral, assumimos a hipótese \(H_0: \mathbf{C} \boldsymbol{\beta} = 0\), onde \(\mathbf{C}\) é uma matriz de coeficientes \(q \times (k+1)\) e de posto \(q \le k+1\).

\[ \begin{align} H_0 &: \mathbf{C} \boldsymbol{\beta} = 0 \\ H_a &: \mathbf{C} \boldsymbol{\beta} \ne 0 \end{align} \]

Dessa maneira, podemos expressar qualquer tipo de hipótese, de acordo com os coeficientes presentes na matriz \(\mathbf{C}\).

Para o exemplo até então utilizado, podemos formular a hipótese \(H_0: \boldsymbol{\beta_1} = \boldsymbol{\beta_2} = 0\) usando a hipótese linear geral.

\[ \begin{align} H_0 &: \boldsymbol{\beta_1} = \boldsymbol{\beta_2} = 0 \\ H_0 &: \mathbf{C} \boldsymbol{\beta} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ H_0 &: \begin{bmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \end{align} \]

C <- matrix(data = c(0, 1, 0, 0, 0, 1), ncol = 3, byrow = TRUE)
C

     [,1] [,2] [,3]
[1,]    0    1    0
[2,]    0    0    1

Beta <- solve(t(X) %*% X) %*% t(X) %*% y
Beta

        [,1]
x0  5.375394
x1  3.011830
x2 -1.285489

CBeta <- C %*% Beta
CBeta

          [,1]
[1,]  3.011830
[2,] -1.285489

A soma de quadrados da hipótese (\(SQHip\)) é dado por:

\[ SQHip = (\mathbf{C} \hat{\boldsymbol{\beta}})'[\mathbf{C (X'X)^{-1} C'}]^{-1} (\mathbf{C} \hat{\boldsymbol{\beta}}) \]

com \(q = \text{ posto}(\mathbf{C}) = \text{número linhas de }\mathbf{C}\) graus de liberdade.

SQHip <- t(CBeta) %*% solve(C %*% solve(t(X) %*% X) %*% t(C)) %*% CBeta
SQHip

        [,1]
[1,] 139.541

gl_hip <- nrow(C)
gl_hip

[1] 2

QMHip <- SQHip / gl_hip
QMHip

        [,1]
[1,] 69.7705

Fcalc3 <- QMHip / QMRes
Fcalc3

         [,1]
[1,] 24.66455

p_valor3 <- 1 - pf(Fcalc3, gl_hip, n - k - 1)
p_valor3

             [,1]
[1,] 0.0002226422

Dessa forma, o quadro da ANOVA para o teste \(H_0: \boldsymbol{\beta_1} = \boldsymbol{\beta_2} = 0\) utilizando a hipótese linear geral, fica:

Teste de Regressão para hipótese linear geral - H0: Beta1 = Beta2 = 0
FV	gl	SQ	QM	Fcal	Ftab	p-valor (5%)
H0:B1=B2=0	2	139.541	69.771	24.665	4.26	0.000223
Resíduo	9	25.459	2.829
Total	11	165.000

Dado que o \(F_{cal} > F_{tab}\), para \(F(0.05, 2, 9)\), há evidência para rejeitarmos \(H_0: \boldsymbol{\beta_1} = \boldsymbol{\beta_2} = 0\) ao nível de 5% de significância.

*Hipótese Linear Geral H0: C*Beta = 0 ou H0: beta1=beta2=0;
C = {0 1 0, 0 0 1};
gl_hip = nrow(C);
Beta = inv(t(X)*X)*t(X)*y;
SQHip = t(C*Beta)*inv(C*inv(t(X)*X)*t(C))*C*Beta;
QMHip = SQHip/gl_hip;
Fcalc3 = QMHip/QMRes;
p_valor3 = 1-cdf('F',Fcalc3,gl_hip,n-k-1);

print 'Seção 8.3: H0: B1 = B2 = 0 usando HIPÓTESE LINEAR GERAL',;
print 'H0: B1 = B2 = 0   ' gl_hip SQHip[format=10.4] QMHip[format=10.4] Fcalc3[format=10.3] p_valor3[format=10.6],,
      'Resíduo           ' gl_res SQRes[format=10.4] QMRes[format=10.4],,,,;