2  Gráfico da Normal Bivariada

Construiremos o gráfico da normal bivariada utilizando o pacote plotly. Este pacote permite confeccionar gráficos dinâmicos tridimensionais.

Para construir o gráfico da normal bivariada, primeiramente, definimos os valores dos vetores das variáveis y1 e y2.

y1 <- seq(from = -4, to = 4, by = 0.1)
y1
 [1] -4.0 -3.9 -3.8 -3.7 -3.6 -3.5 -3.4 -3.3 -3.2 -3.1 -3.0 -2.9 -2.8 -2.7 -2.6
[16] -2.5 -2.4 -2.3 -2.2 -2.1 -2.0 -1.9 -1.8 -1.7 -1.6 -1.5 -1.4 -1.3 -1.2 -1.1
[31] -1.0 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1  0.0  0.1  0.2  0.3  0.4
[46]  0.5  0.6  0.7  0.8  0.9  1.0  1.1  1.2  1.3  1.4  1.5  1.6  1.7  1.8  1.9
[61]  2.0  2.1  2.2  2.3  2.4  2.5  2.6  2.7  2.8  2.9  3.0  3.1  3.2  3.3  3.4
[76]  3.5  3.6  3.7  3.8  3.9  4.0
y2 <- seq(from = -4, to = 4, by = 0.1)
y2
 [1] -4.0 -3.9 -3.8 -3.7 -3.6 -3.5 -3.4 -3.3 -3.2 -3.1 -3.0 -2.9 -2.8 -2.7 -2.6
[16] -2.5 -2.4 -2.3 -2.2 -2.1 -2.0 -1.9 -1.8 -1.7 -1.6 -1.5 -1.4 -1.3 -1.2 -1.1
[31] -1.0 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1  0.0  0.1  0.2  0.3  0.4
[46]  0.5  0.6  0.7  0.8  0.9  1.0  1.1  1.2  1.3  1.4  1.5  1.6  1.7  1.8  1.9
[61]  2.0  2.1  2.2  2.3  2.4  2.5  2.6  2.7  2.8  2.9  3.0  3.1  3.2  3.3  3.4
[76]  3.5  3.6  3.7  3.8  3.9  4.0

A função seq() cria uma sequência de valores e possui três argumentos:

  • from =: valor em que a sequência começa;

  • to =: valor em que a sequência termina;

  • by =: de quanto em quanto a sequência é construída.

Em seguida, calculamos a densidade bivariada, dada pela seguinte equação:

\[ \phi = \frac{1}{2\pi \sqrt{1-r^2}} exp\left\{-\frac{y_1^2 - 2r y_1 y_2 + y_2^2}{2(1-r^2)}\right\} \]

em que \(r\) é o coeficiente de correlação entre y1 e y2, variando de -1 a 1.

O valor do coeficiente de correlação será salvo no objeto r. Já o objeto pi armazena o valor de \(\pi\) com seis casas decimais.

Para verificar as alterações gráficas, redefina o valor do objeto r (valor entre -1 e 1).

r <- -0.75  # Modificar este valor para verificar as alterações gráficas
pi
[1] 3.141593

Para realizar o cálculo da densidade bivariada no R, criamos uma função (function()) que executa a equação definida anteriormente para cada um dos valores de y1 e y2, gerando a matriz final, salva no objeto z.

z <- outer(y1, y2, function(y1,y2) { 
  phi <- 1/(2 * pi * sqrt(1 - r^2)) * exp(-(y1^2 - 2 * r * y1 * y2 + y2^2) / (2 * (1 - r^2)))
  return(phi)
})

Com isso, podemos criar o gráfico de densidade da normal bivariada.

plot_ly(x = y1, y = y2, z = z, type = "surface") |> 
  layout(title = paste("Densidade Normal Bivariada (r =", r, ")"))

Com a função plot_ly(), definimos os objetos que compõem os eixos x, y e z, além do estilo do gráfico (type = "surface"). Em seguida, utilizando a função layout(), inserimos o título do gráfico.

Link para aplicativo dinâmico: https://gustavojy.github.io/n-multi-graph-app/.

%let r=-0.75; * Fixa o coeficiente de correlação entre y1 e y2;
data Normal;
 pi=3.1416;
 do y1=-4 to 4 by 0.1;
  do y2=-4 to 4 by 0.1; 
  phi=exp(-(y1*y1-2*&r*y1*y2+y2*y2)/2/(1-&r*&r))/2/pi/sqrt(1-&r*&r);
  output;
  end;
 end;
run;

goptions reset=all border;
proc g3d data=Normal;
 title 'Densidade Normal Bivariada (r =' &r ')';
 plot y1*y2=phi / rotate=-20;
run;